מחיל אל חיל

התבוננות מתמטית (נוספת) בפיוט הנודע שאנו שרים בליל הסדר – 'אחד מי יודע'

 

במאמר קודם עסקנו בפיוט "אחד מי יודע" אותו נוהגים רבים לזמר בסוף הסדר. כתבנו אז שהבחירה בפיוט העוסק במהות ומשמעות המספרים לליל הסדר מעידה על כך שהחינוך לחשיבה מתמטית כלולה אף היא במצוה לחנך את בנינו לדרך התורה והמצוה. ציינו שראשוני חכמי התורה שבעל פה נקראו "סופרים" על שום שהיו סופרים את אותיות התורה, וכן היו בקיאים במספר ההופעות של מלה או ביטוי מיוחדים. ביחס לפיוט אחד מי יודע ראינו תופעות פשוטות וראשוניות.

כדי ללכת מחיל אל חיל בליל הסדר הבא עלינו לטובה, ולכבוד סיום השנה הראשונה של העלון, נמשיך בהתבוננות מתמטית בפיוט "אחד מי יודע", והפעם נעסוק בקשר המיוחד שבין "אחד אלקינו" ובין שם הוי' בחמשה חמשי תורה.

משולשים ומספרי משה

כבר בשנה שעברה ציינו שבבית הראשון – "אֶחָד מִי יוֹדֵעַ? אֶחָד אָנִי יוֹדֵעַ! אֶחָד אֶ־לֹהֵינוּ שֶבַּשָׁמַיִם וּבָאָרֶץ" – 10 תבות. המספר 10 הנו המספר המשולש הרביעי. המספרים המשולשים – צורתם כשמם – משולש. המספרים המשולשים הראשונים הם: 1, 3, 6, 10, 15, וכו'. נצייר אותם:

 

ידועה השאלה לגבי אי אזכרתו של משה רבינו בהגדה. והנה, מחבר הפיוט "אחד מי יודע" כנראה הרגיש בחסרון ורמז לנו על משה בפיוט, שכן סך כל המלים בפיוט כולו 345 שווה משה!

אבל, 345 התבות מתחלקות ל-300 (ש) תבות ב-12 הבתים הראשונים, ועוד 45 (מה) תבות בבית האחרון – היינו, שגם החלוקה הפנימית רומזת לשמו של משה (300 ועוד 45). אולם, חלוקה זו של משה לאותיות מה ו-ש מיוחדת שכן ערכן 45 ו-300, שניהם מספרים משולשים. 45 הוא המשולש של 9 ואילו 300 המשולש של 24. ושוב, החלוקה הזאת של משה לשני משולשים נרמזת בפיוט בצורה ברורה, וחלוקה זו חשובה משום שהמספר 345, ערכו של משה עצמו, אינו מספר משולש!

החשיבה המתמטית כמו זו התורנית מחפשת תמיד להכליל (על כך בהרחבה ראו במאמר "עץ החיים ועץ הדעת" שבספר תשובת השנה). כדי להכליל תופעה יפה כמו זו שראינו זה עתה יש להפוך לתאר אותה במשוואה. נכתוב: 345 = 24r ┴ 9r. אפשר כעת לכתוב משוואה כללית שתייצר עבורינו את כל המספרים הדומים בתבניתם המתמטית ל-345: f[n] = rn  ┴ r(n ┴ 15)

את המספרים אותם מייצרת פונקציה זאת נכנה מספרי משה (את המשך ההתבוננות המתמטית והתורנית בהם נשאיר לפעם אחרת) והראשונים הם 120, 137 ו-156 (כאשר מתחילים מהצבת n שווה ל-0). רק נציין שהמספר הראשון, 120, הוא שנות חייו של משה, כרמוז בפסוק "בשגם [= משה] הוא בשר והיו ימיו מאה ועשרים שנה".

מספרי טטראדר

כעת שיש לנו קצת נסיון פרקטי עם מספרים משולשים בשני ממדים (1, 3, 6, 10 וכו'), נכליל גם את מושג המשולש לממדים גבוהים יותר.

כיצד יראה משולש ב-3 ממדים. ובכן, המשולש בשלשה ממדים צריך לשקף משולש בכל פאה, וצורה זאת נקראת במתמטיקה טטראדר (tetrahedron). הטטראדר הנו פירמידה עם בסיס משולש והוא מורכב ממשולשים המונחים זה על גבי זה. הנה תמונת שלש מספרי הטטראדר הראשונים (1, 4, 10):

 

את נוסחת הטטראדר – סכום המספרים המשולשים אנו מגדירים בעזרת הנוסחה:

כמובן שאנו דנים במספרי הטטראדר כי הם קשורים קשר הדוק עם "אחד מי יודע". נסתכל על כל המספרים המוזכרים בפיוט. בבית הראשון מוזכר רק 1; בבית השני 1 ו-2; בבית השלישי 1, 2, ו-3; וכן הלאה. קל לראות שסכום המספרים בבית הראשון הוא המשולש של 1, סכום המספרים בבית השני המשולש של 2, סכום המספרים בבית השלישי המשולש של 3, וכן הלאה. כלומר, סכום כל המספרים הוא הטטראדר של 13 (סכום המשולשים מ-1 עד 13), או 1 ┴ 3 ┴ 6 ┴ 10 ┴ .. ┴ 91 = 455.

אם קשה עלינו החישוב האלגברי, אפשר להגיע בצורה אחרת, אולי פשוטה יותר לסכום כל המספרים בפיוט.

נרשום את המספר "1" שלש-עשרה פעמים בשורה אחת של טבלה, ונוסיף שורות באופן כזה שבכל תא נכתוב את סכום המספרים בשורה מעליו עד הטור של אותו תא.

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

3

6

10

15

21

28

36

45

55

66

78

91

1

4

10

20

35

56

84

120

165

220

286

364

455

קל לראות שהמספרים בשורה השניה הם המספרים מ-1 עד 13 (כלומר משולש בממד 1, עד כמה שהדבר נשמע משונה). המספרים בשורה השלישית הם המשולשים של 1 עד 13. והמספרים בשורה הרביעית הם מספרי הטטראדר של 1 עד 13 (משולשים ב-3 ממדים, כפי שראינו למעלה).

אם נכתוב עוד שורה אחד בטבלה, נקבל את המשולשים ב-4 ממדים (מה שאין העין יכולה לתפוס), והם

1

5

15

35

70

126

210

330

495

715

1001

1364

1820

והנה פלא: הטטראדר ה-13 הוא 455, סכום כל המספרים ב"אחד מי יודע", ואילו המשולש ב-4 ממדים של 13 הוא 1820 – שיש אומרים שהוא המספר החשוב ביותר בתורה, שכן הוא מספר ההופעות של שם הוי' ב"ה בחמשה חמשי תורה – תורת משה! אבל אולי הפלא הגדול עוד יותר הוא שאם נחזור לסדרת מספרי משה שפיתחנו למעלה ונמשיך אותה נמצא ש-1820 הוא גם מספר משה!!

TPL_BEEZ2_ADDITIONAL_INFORMATION