העשירי יהיה קדש לה’

למעשה כל מספר אפשר לייצג בכל בסיס, ומבחינה מתמטית טהורה, אין עדיפות לבסיס 10 על פני כל בסיס אחר.  הבסיס הנמוך ביותר לציון המספרים הטבעיים הוא בסיס 2, הבסיס הבינארי שבו רק שני סימנים – 0 ו-1 – מהם מייצרים את כל המספרים. כך בבסיס 2 המספרים מ-0 עד 10 הם: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010. בכל בסיס גם אפשר לכתוב שברים “עשרוניים”. כך 2.3 בבינארי יהיה 10.11. השימוש בבסיס הבינארי פופולארי במתמטיקה המודרנית בגלל התפתחות המחשב, שכן כמעט תמיד נח לבנות מחשב סביב שני מצבים “יש מטען חשמלי” ו”אין מטען חשמלי” המיוצגים על ידי הספרות 1 ו-0. השימוש במחשבים גם הגדיל את החשיבות של בסיס 16 (שכן כל קבוצה של 4 ביטים בינאריים ניתן לייצג כספרה אחת בבסיס 16). בבסיס זה מקובל להוסיף את האותיות הלטיניות A עד F כדי להשלים ל-16 “ספרות”. בבסיס 16 המספר AF למשל זהה למספר 10101111 בבסיס 2 אשר זהה למספר 175 בבסיס 10.

נשים לב לכך שבכל הדוגמאות שהבאנו המספרים נכתבים במה שמכונה “יצוג לפי המקום” (positional notation), כלומר, המיקום של הספרה משנה את ערכה. אבל אין השימוש בבסיס 10 תלוי ביצוג לפי המקום, שכן גם כשנכתוב “שלשים ומאת שנה”, עצם השימוש במלים “שלשים” ו”מאת” מורה על בסיס 10.

בסיס 60 בעולם הקדום

חשוב לציין שבימי קדם דוקא בסיס 60 היה מקובל יותר בימי קדם. מתקופתו של אברהם אבינו שרדו כמה אלפי טבלאות חרס כתובים בכתב יתדות ועליהן חשבונות מתמטיים, כולם מחושבים בבסיס 60. רבות נכתב על תופעה זו ועל הסיבות להעדפה של בסיס 60 (שנראה לנו יותר מורכב מאשר השימוש בבסיס 10), אך בכל מקרה זו היתה המציאות בסביבתו של אברהם אבינו. המצרים הקדומים לעומת זאת השתמשו גם הם בבסיס 10 לחישוביהם.

התורה מקדשת את בסיס 10

והנה, התורה משתמשת אך ורק בבסיס 10 כדי לתאר מספר. למשל בפסוק “ויחי אדם שלשים ומאת שנה ויולד בדמותו כצלמו”. כאמור, אין סיבה מתמטית להעדיף את בסיס 10 על פני כל בסיס אחר ועל כן הבחירה של התורה בבסיס 10 מקבלת משנה חשיבות וקדושה. רמז לדבר נמצא בפסוק המופיע בפרשתנו פרשת בחקותי, “העשירי יהיה קדש לה'”. אכן, אנו מוצאים שבאופנים שונים, יסודות התורה כולם מבוססים על המספר 10, הן במעשה בראשית (עשרה מאמרות שבהם נברא העולם) והן במעשה מרכבה (עשרת הדברים בהם ניתנה התורה) ובעוד קבוצות חשובות אחרות של 10. כך גם ספר יצירה, ספר הקבלה הראשון, מורה לנו שישנן 10 ספירות בלימה בהם ועל ידם ברא הקב”ה את העולם וממשיך לקיימו.

הוראת המתמטיקה בקדושה לילדים

מכאן נגזרת הוראה חשובה לגבי כל דרך לימוד המתמטיקה לילדי ישראל. ישנה טענה (בעיקר בציבור החסידי והליטאי) שכדי לשמור על קדושת התורה יש להפריד את לימודי החול – כגון מתמטיקה – מלימוד התורה. לאחר שהתלמיד למד מתמטיקה באופן “פרווה” כביכול, אפשר להשתמש בידע המתמטי שצבר כדי להסביר איך מחשבים חצי ושלשת רבעי וכל התופעות המתמטיות הרבות המופיעות בלימוד החומש, המשנה והגמרא. אבל, אומרת הטענה, אין ללמוד את המתמטיקה מתוך התורה משום שהדבר כביכול יהפוך את התורה למקור לחולין.

אולם, טענה זו מתעלמת מהעובדה הפשוטה שהתורה אינה עוסקת בסתמיות במתמטיקה. התורה אינה ניטרלית לגבי המתמטיקה וכבר בכך שהיא מורה לנו לעשות שימוש דוקא בבסיס 10 היא מדריכה אותנו ללימוד מתמטיקה באופן של קדושה – מתמטיקה ששונה מזו הסתמית שנלמדת בעולם שמחוץ לתורה. רק לימוד המתמטיקה מתוך התורה מגלה את ממד הנפש הקדושה שיש גם בתחום זה שלכאורה נראה לנו כל כך שרירותי, ניטרלי, וכביכול חסר נשמה.

יחודו המתמטי של המספר 10

והנה, כאשר מאמצים את גישת התורה שיש יחוד למספר 10, יחוד הקושר אותו עם קדושה, מתגלה שאכן ישנן תופעות מתמטיות משמעותיות המצביעות על יחודו של המספר 10.

נציין בהקשר זה תופעה אחת מרכזית שאין דומה לה: עד ועד בכלל 10 ישנם 5 מספרים ראשוניים (1, 2, 3, 5, 7) ו-5 מספרים מורכבים (4, 6, 8, 9, 10). חלוקה שווה בין ראשוניים למורכבים. לכאורה היה אפשר לטעון שכך החלוקה גם עד ועד בכלל 12, אולם לחלוקה עד 10 יש סגולה מיוחדת שכן בצירוף הראשון עם האחרון מכל קבוצה, סכום כל זוג עולה 11 (1 ו-10, 2 ו-9, 3 ו-8, 4 ו-7, 6 ו-5) וזאת מפני ש-5 המספרים הראשוניים מופיעים בהפרשים שווים ובסדר הפוך ל-5 המספרים המורכבים.

מבלי להיכנס לפרטים נציין גם שהמספר 10 הוא המספר הלא-טריוויאלי הראשון שהוא גם משולש (סכום המספרים מ-1 עד 4) וכן מספר טטראדר (משולש ב-3 ממדים: סכום המשולשים מ-1 עד 6) אשר בהם עסקנו בטור הקודם.

 —

(מתוך ספר מאמרים במתמטיקה העתיד לראות אור).