מכון גל עיני
נכתב עלידי
בשני הפרקים הקודמים עסקנו בטבלה המחזורית של היסודות. בגליון זה נעבור לעסוק מעט בנושא המספרים הצורניים, נושא הנדרש לנו כדי להבין את המשך ניתוח טבלת היסודות. לכל מספר שלם יש צורה גיאומטרית בה ניתן לייצג אותו בצורה ויזואלית. צורות אלה יכולות להיות דו ממדיות ופשוטות כמו ריבוע (את המספרים הרבועים, 1, 4, 9, 16, וכו’ ניתן לצייר כריבוע), ויכולות להיות מורכבות מאד (כמו צורת המגן-דוד על ידה ניתן לייצג את המספרים 1, 13, 37, 121, וכו’). יתכנו כמובן גם צורות ב-3 ממדים ואף יותר. כפי שנראה כבר בסוף מאמר זה, המספרים הצורניים מהווים כלי חשוב ביותר גם בלימוד התורה.
ברית
בפרשתינו, פרשת לך לך, כורת ה’ ברית על ארץ ישראל עם אברהם אבינו: “ביום ההוא כרת ה’ את אברם ברית לאמר לזרעך נתתי את הארץ הזאת”. כמבואר בחסידות, ברית מבטאת תחושה של קשר שלמעלה מטעם ודעת. אדמו”ר הזקן מביא את המשל הבא:
“על דרך שני אוהבים שעושים כריתת ברית להיות אוהבים זה על זה, דהיינו שיוכרח להיות אוהבו אף אם לא היה נמשך אצלו אהבה זו אליו אחר כך מצד השכל והדעת, מכל מקום מכריח את עצמו לאהבה בבחינה שלמעלה מהשכל והדעת” (תורה אור, לך לך)
בסוף פרשת לך לך ה’ כורת עם אברהם את ברית המילה, עליה אמרו חז”ל “גדולה מילה שנכרתו עליה 13 בריתות”. כוונת מאמר זה שבפרשת ברית המילה מוזכרת המלה “ברית” (בצורותיה השונות) 13 פעמים. על הברית שכרת ה’ עם כל ישראל על התורה, דנו חכמים בהקשר לברכה השניה של ברכת המזון, ואמרו “צריך שיקדים ברית [המילה] לתורה, שזו [התורה] נתנה ב־ג בריתות וזו [המילה] נתנה ב־יג בריתות”. והנה, כבר בפרשת נח כרת ה’ שתי בריתות עם נח. בפעם הראשונה כשצוה עליו לבנות את התבה נאמר, “והקמתי את בריתי אתך ובאת אל התבה”. ולאחר שיצא נח מן התבה, כרת ה’ עמו (ועם האנושות כולה) את ברית הקשת.
מספרי ברית
והנה אם נמשיך את הרציונל של חז”ל לספור את מספר הפעמים שהמלה “ברית” מופיעה בכל אחת מכריתות הברית שתיארנו נמצא שהן:
¨ 1 – ברית התבה
¨ 1 – ברית הארץ
¨ 3 – ברית התורה
¨ 7 – הברית הקשת (המספר 7 כמובן רומז הן לשבעה צבעי הקשת והן לשבע מצות בני נח)
¨ 13 – ברית המילה
נבנה מהמספרים האלה סדרה חשבונית, אותה נכנה סדרת מספרי הברית:
|
13 |
|
7 |
|
3 |
|
1 |
|
1 |
|
|
6 |
|
4 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
למרות שיש בידינו חמשה מספרים הרי שמההפרשים שביניהם קל לראות שניתן היה להגדיר את הסדרה בעזרת השלשה הראשונים לבד, מה שמחזק את ההבנה שאכן כל 5 המספרים קשורים זה לזה בסדרה אותה אנו מכנים באופן מובן: סדרת מספרי הברית. (בסיס הסדרה – המספר המקדם את הסדרה – 2, רומז לכך שכריתת ברית נעשית בין שנים).
בעזרת נוסחה שפותחה על ידי פאסקל (Pascal), ניתן לשחזר מהנוסחה הריבועית המתארת את הסדרה היא:
משוואה זו הינה המשוואה הריבועית הראשונה והמושלמת ביותר, שכן כל המקדמים של האברים 2n , 1n ו־0n הנם 1!
נכתוב כעת את המספרים הראשונים בסדרת מספרי הברית:
…111 91 73 57 43 31 21 13 7 3 1
מהי הצורה הגיאומטרית של מספרי הברית? בעזרת מעט מניפולוציה אלגבראית אפשר להגיע לכך שהנוסחה הקודמת זהה לנוסחה
כאשר rn מייצג את המשולש של n, או סכום המספרים מ-1 עד n. במילים אחרות, צורת מספר הברית ה־n היא של שני משולשים בגודל n עם נקודה נוספת. נצייר את צורתם של מספרי הברית הראשונים:
בגלל צורתם זו, אנו מציינים את מספר הברית של n בסימול: 
מבחינה גראפית, המשולש העליון נראה יורד מלמעלה למטה והמשולש התחתון נראה עולה מלמטה למעלה. נקודת המפגש, הנקודה שבין שני המשולשים מסמלת את “אות הברית” המהווה את הסימן או הסמל עליו נכרתה הברית, וכך יוצא שהצורה הגיאומטרית של מספרי הברית תואמת להפליא את הרעיון אותו הם מבטאים.
ברית בין הבתרים
הברית על הארץ בה עסקנו בתחילת דברינו נקראת בפי כל “ברית בין הבתרים” שכן את הברית כרתו על ידי ביתור (חלוקה) לשנים (שני משולשים) את הבהמות, “ויקח לו את כל אלה ויבתר אתם בתוך ויתן איש בתרו לקראת רעהו ואת הצפר לא בתר”. והנה, בפסוק זה יש 57 אותיות, מספר הברית השמיני, וממילא מתבקש לצייר את אותיותיו בצורת ברית:
